命題
任意の開集合$G$に対して，$f_m(x)=\inf \{md(x\, G^c),1 \}$はm-リプシッツ連続な関数である．
証明
示したいのは， 任意の$x,y \in \mathbb{R}^k$に対して， $$ |f_m(x)-f_m(y)|\leq md(x,y) $$ となることである．$x,y$として
- $x,y \in G^c$,
- $x,y\in G$,
- $x\in G,y\in G^c$
の3通りの場合を考える．
1.の場合，$f_m(x) = 0$かつ$f_m(y)=0$で明らかに成り立つ．
2.の場合.
まず，$d(x,G^c)$，$d(y,G^c)$を与える$G^c$の点をそれぞれ$G_x,G_y$と書くことにする．
すると次の２つの場合がある．
\begin{eqnarray} \begin{cases} & d(x,G_x)\leq d(y,G_y) \leq d(x,y)+d(y,G_y) \\ & d(y,G_y)\leq d(x,G_x) \leq d(x,y)+d(x,G_x) \end{cases} \end{eqnarray}
合わせると \begin{eqnarray} |d(x,G_x) - d(y,G_y)| \leq d(x,y) \end{eqnarray}
となることが分かる．
ここで，次の3通りの場合を考える．
ⅰ. $md(x,G^c)<1$, $md(y,G^c)<1$
ⅱ. $md(x,G^c)<1$, $md(y,G^c)\geq 1$
ⅲ. $md(x,G^c)\geq 1$, $md(y,G^c)\geq 1$
まず，ⅰ.のとき
\begin{eqnarray} |f_m(x)-f_m(y)| &=& |md(x,G_x) - md(y,G_y| \\ &\leq& md(x,y). \end{eqnarray}
次に，ⅱ.のとき，
\begin{eqnarray} |f_m(x)-f_m(y)| &=& |md(x,G_x) - 1| \\ &\leq& |md(x,G_x) - md(y,G_y)| \\ &\leq& md(x,y). \end{eqnarray}
最後にⅲ.のとき， \begin{eqnarray} |f_m(x)-f_m(y)| = 1-1 =0. \end{eqnarray}
よっていずれの場合も成り立つ．
最後に3.のときを示す．
$md(x,G^c)\geq 1$のとき， \begin{eqnarray} |f_m(x)-f_m(y)| &=& |1 - 0| \\ &\leq& |md(x,G^c)| \\ &=& |md(x,G_x)| \\ &\leq& |md(x,G_x) + md(G_x,y)| \\ &=& md(x,y). \end{eqnarray}
と成り立つ．各等式，不等式は図を描いてみれば分かりやすい．
$md(x,G^c)< 1$のとき， \begin{eqnarray} |f_m(x)-f_m(y)| &=& |md(x,G^c)| \\ &\leq& md(x,y) \end{eqnarray}
これも図を描いてみれば一目瞭然．
以上により3.の場合もm-リプシッツ連続であることが分かり，全ての場合で示せた．
Special Thanks
Mr. Ryunosuke TANABE