Frodaの定理

$f$を$\mathbb{R}$上の単調非減少関数とすると$f$の不連続点全体は高々可算個である．

任意の$m\in \mathbb{Z}$について，$f$の開区間$(m-1,m+1)$での不連続点全体$D_m$が高々可算個であることを示せば，$f$の$\mathbb{R}$での不連続点全体も$\cup_{m=-\infty}^{\infty}D_m$に含まれるから高々可算個となる．

まず$f$の単調性から各$t\in (m-1,m+1)$について右極限と左極限が存在し，$t$が不連続点であることと$\Delta f(t) := f(t+)-f(t-)>0$であることとが同等となる．

ここで各$n\in \mathbb{N}$について \begin{eqnarray} A_n^m := \{t\in (m-1,m+1):\Delta f(t)>\frac{1}{n} \} \end{eqnarray} と定義すると$A_n^m$が有限集合であることを示す．

もし無限集合であるとすると，任意の$\ell \in \mathbb{N}$について $t_1,t_2,...,t_{\ell} (t_1<t_2<\cdots <t_{\ell})\in A_n^m$が存在する．このとき，

\begin{eqnarray} f(m+1) \geq \Delta f(t_1) + \cdots \Delta f(t_{\ell})+f(m-1) \geq \frac{\ell}{n}+f(m-1) \end{eqnarray}

$\ell$は任意であったから$\ell \rightarrow \infty$とすると$f(m+1)=\infty$となり，矛盾．

よって$A_n^m$は有限集合である．

よって，$D_m = \cup_{n=1}^{\infty}A_n^m$も高々可算集合である．

以上により示せた．